Insegnamenti

Seleziona l'Anno Accademico:     2017/2018 2018/2019 2019/2020 2020/2021 2021/2022 2022/2023
Docente
MARIA INFUSINO (Tit.)
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 8 64

Obiettivi

L’insegnamento si propone di fornire agli studenti i fondamenti della teoria del Calcolo delle Probabilità, che è alla base dello studio dei fenomeni aleatori nella realtà in cui viviamo e dunque riveste un ruolo fondamentale non solo in matematica ma in moltissime altre discipline scientifiche e sociali.

CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Lo studente dovrà acquisire una conoscenza completa degli elementi fondamentali del Calcolo delle Probabilità e della Teoria delle Distribuzioni, e la capacità di collegarli e confrontarli tra loro. Inoltre, dovrà essere in grado di dimostrare rigorosamente i risultati principali presentati a lezione e di fornire esempi concreti delle nozioni teoriche introdotte nel corso.

CAPACITA’ APPLICATIVE:
Lo studente dovrà mostrare familiarità ed autonomia nell’applicazione dei metodi introdotti nel corso ad esempi pratici ed esercizi. In particolare, dovrà saper risolvere problemi concreti coniugando autonomamente le conoscenze teoriche apprese con il riconoscimento e la selezione del modello adatto, seguendo gli esempi forniti durante il corso.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Il corso si propone di stimolare la valutazione obiettiva della didattica da parte degli studenti, proponendo loro un costante raffronto tra i contenuti teorici proposti durante le lezioni frontali e l’acquisizione degli stessi attraverso lo studio autonomo utilizzando i testi consigliati. Lo studente dovrà pertanto essere in grado di analizzare con senso critico le nozioni acquisite durante il corso e di utilizzarle autonomamente anche in altri contesti.

ABILITÀ NELLA COMUNICAZIONE:
Lo studente dovrà acquisire la capacità di esprimere con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico rigoroso i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilità.

CAPACITÀ DI APPRENDERE:
Lo studente svilupperà una metodologia di studio e analisi critica che gli permetterà di interpretare e approfondire le problematiche di Probabilità e Statistica che gli si presenteranno nel proseguo dello studio e della carriera universitaria/lavorativa.

Prerequisiti

È necessario che lo studente sia in possesso di elementi di Calcolo Combinatorio, di Algebra elementare e di Analisi (limiti, derivate e integrali) introdotti nei corsi standard di Algebra e Analisi del primo biennio della laurea triennale in Matematica. In conformità con il regolamento didattico del corso di laurea in Matematica A.A. 2022/23, non si può sostenere l’esame finale di questo insegnamento senza aver superato l’esame di Analisi Matematica 2.

Contenuti

1)Introduzione alla probabilità e sua assiomatizzazione
 •Introduzione al concetto di probabilità (origini, definizione classica, frequentista e soggettiva)
 •Spazio campionario ed eventi (logica ed operazioni sugli eventi, successioni e limiti di eventi)
 •Algebre di insiemi e sigma-algebre
 •Definizione assiomatica di probabilità di Kolmogorov e prime conseguenze (eventi quasi certi ed eventi quasi impossibili, principio di inclusione-esclusione, disuguaglianze di Bonferroni, disuguaglianza di Boole)
 •Proprietà elementari della probabilità, teoremi delle probabilità totali e delle probabilità composte
 •Calcolo combinatorio (principi fondamentali, permutazioni, combinazioni, coefficienti binomiali)
 •Indipendenza, probabilità condizionata, teorema di Bayes

2)Variabili aleatorie
 •Definizione di variabile aleatoria e sua legge
 •Funzione di ripartizione e sue proprietà
 2.1) Variabili aleatorie discrete
 •Densità di probabilità nel caso discreto.
 •Modelli di variabili aleatorie discrete: uniforme, bernoulliana, binomiale, ipergeometrica, geometrica, di Pascal, binomiale negativa, di Poisson.
 2.2) Variabili aleatorie assolutamente continue
 •Densità di probabilità nel caso assolutamente continuo.
 •Modelli di variabili aleatorie assolutamente continue: uniforme, esponenziale, Erlang, Gamma, Beta, Weibull, normale.
 2.3) Vettori aleatori
 •Vettori aleatori discreti
 •Vettori aleatori assolutamente continui
 •Vettori aleatori misti
 •Leggi congiunte e leggi marginali di un vettore aleatorio
 •Indipendenza di variabili aleatorie
 •Distribuzioni condizionate per vettori aleatori bivariati discreti, continui, misti.

3) Operazioni su variabili aleatorie
 •Trasformazioni di variabili aleatorie e determinazione della densità a esse associata
 •Trasformazioni di variabili aleatorie bivariate: somma, differenza, quoziente e prodotto di due variabili aleatorie
 •Trasformazioni di variabili aleatorie indipendenti

4) Indicatori
 •Valore atteso di una v.a. e sue proprietà
 •Valore atteso di funzioni di variabili aleatorie
 •Valore atteso delle principali distribuzioni notevoli discrete e assolutamente continue.
 •Momenti e momenti centrati di una v.a.
 •Varianza di una v.a. e sue proprietà
 •Varianza delle principali distribuzioni notevoli discrete e assolutamente continue.
 •Disuguaglianze notevoli: Markov, Chebyshev e Schwartz
 •Covarianza e coefficiente di correlazione.
 •Speranza condizionata
 •Altri indicatori (e.g. mediana, quantili, moda)
 •Funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica e loro proprietà.

5)Teoremi asintotici
 •Convergenza di variabili aleatorie
 •Legame tra i diversi tipi di convergenza
 •Legge debole dei grandi numeri e sua applicazione per la stima di integrali
 •Legge forte dei grandi numeri
 •Teorema del limite centrale

Metodi Didattici

In accordo con le attuali indicazioni d'Ateneo sulle modalità didattiche, l’insegnamento verrà erogato in presenza.

Il corso prevede lezioni frontali di due ore (per un totale di 64 ore) sui contenuti teorici del corso sempre accompagnati da esempi illustrativi ed esercizi svolti insieme agli studenti. Sono inoltre previste esercitazioni aggiuntive (per un totale di 32 ore) consistenti nella risoluzione di esercizi sotto la guida di un Tutor. Alcuni degli esercizi saranno svolti con l'ausilio del pacchetto statistico R.

Verifica dell'apprendimento

La valutazione si svolgerà attraverso una media ponderata fra una prova scritta e una prova orale con voto finale in trentesimi. La prova scritta, riguardante 4 o 5 esercizi simili a quelli svolti durante il corso, è prevista in 2 ore e 30 minuti. Verrà valutata sia la padronanza degli strumenti propri della disciplina che la capacità di problem solving. Si può accedere all'esame orale solo dopo avere superato la prova scritta con un voto di almeno 18 trentesimi. Durante la prova orale lo studente dovrà dimostrare di aver capito ed assimilato gli argomenti svolti durante le lezioni, presentando con rigore matematico le nozioni e le dimostrazioni apprese durante il corso. Si noti che una risposta eccessivamente insufficiente può compromettere l’intera prova orale. Un esito negativo della prova orale impone la ripetizione dell’intera procedura (scritto e orale).

Testi

Testi di riferimento
- P. Baldi, Calcolo delle probabilità, McGraw-Hill, 2011.
- G. Dall’Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli Editore, 2003.
- A. Di Crescenzo, V. Giorno, A.G. Nobile, L.M. Ricciardi, Un primo corso in probabilità, Liguori Editore, 2009.
- S. M. Ross, Calcolo delle Probabilità, Apogeo, 2007.

Testi di consultazione
-F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità: Un'introduzione attraverso modelli e applicazioni, UNITEXT 67,Springer-Verlag, 2013.
- Neil A. Weiss Calcolo delle Probabilità, Addison Wesley, 2008.
Per un’ introduzione a R:
-S. M. Iacus, G. Masarotto, Laboratorio di statistica con R, McGraw-Hill, 2007
- G.J.Kerns, Introduction to Probability and Statistics Using R ( https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.174.1836&rep=rep1&type=pdf ), 2010.

Altre Informazioni

Materiale supplementare sarà disponibile sul sito del docente
https://unica.it/unica/it/ateneo_s07_ss01.page?contentId=SHD244889

Il ricevimento degli studenti si terrà in presenza o tramite la piattaforma Microsoft Teams nell’orario comunicato dalla docente all’inizio del corso o per appuntamento da concordare per email maria.infusino@unica.it

Il nostro Ateneo fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Questionario e social

Condividi su:
Impostazioni cookie