Insegnamenti

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Docente
ANTONIO GRECO (Tit.)
Periodo
Primo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 12 96

Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione

Conoscenza del linguaggio disciplinare e della notazione della teoria dei limiti e del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una variabile reale. Conoscenza delle nozioni principali della teoria delle successioni e delle serie numeriche, e della teoria delle funzioni di una variabile reale. Primi rudimenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie.

2. Capacità applicative

Utilizzare gli algoritmi per il calcolo dei limiti delle successioni numeriche e delle funzioni di una variabile reale, e per la determinazione delle derivate e l'integrazione mediante quadrature di tali funzioni. Utilizzare la teoria dell'integrazione per determinare l'area di semplici figure piane dal contorno mistilineo. Utilizzo di qualche criterio per stabilire il carattere di una serie numerica. Capacità di trovare le soluzioni di semplici equazioni differenziali.

3. Autonomia di giudizio

Saper effettuare applicazioni del calcolo differenziale alla determinazione qualitativa del grafico di una funzione data, e alla determinazione degli eventuali punti di massimo e di minimo. Saper connettere tra loro le informazioni raccolte con algoritmi diversi a proposito di una data funzione, e di utilizzarle criticamente per precisare la natura di tale funzione. Saper valutare in maniera critica la correttezza di una dimostrazione, o, più in generale, di un ragionamento matematico, e la buona positura di una definizione. Saper individuare e correggere i propri eventuali errori, senza smarrirsi.

4. Abilità nella comunicazione

Saper comunicare informazioni, idee, problemi e soluzioni utilizzando la terminologia convenzionale, in modo tale da poter interagire costruttivamente, nell'immediato, con gli altri studenti e con i docenti, e, in prospettiva, una volta completato il percorso di studi, con i propri colleghi di lavoro ed eventualmente i propri stessi studenti. Saper motivare razionalmente le proprie affermazioni, supportandole con lo svolgimento di semplici dimostrazioni e facendo un uso pertinente delle congiunzioni "cioè", "quindi", "se".

5. Capacità di apprendere

Essere in grado di consultare e interpretare i testi universitari per formare ed arricchire le proprie conoscenze. Saper utilizzare le fonti di informazione nell'ambito di un'attività volta alla risoluzione di problemi. Essere in grado, qualora se ne presentasse la necessità, di documentarsi anche su argomenti vicini ai contenuti del corso ma non rientranti interamente in essi.

Prerequisiti

1. Calcolo letterale (indispensabile).

2. Elementi di geometria euclidea piana: teorema di Pitagora, area del triangolo, del quadrato, del rettangolo (importanti); area del cerchio (utile).

3. Nozioni di geometria analitica piana: coordinate di un punto; equazione della retta in forma esplicita; significato del coefficiente angolare e del termine noto (importanti).

4. Elementi di trigonometria piana: funzioni circolari e loro grafici; valori notevoli; relazioni notevoli (utili).

5. Funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche e loro principali proprietà (utili).

Contenuti

1. Successioni numeriche e loro limiti

Successioni convergenti, divergenti, irregolari, monotòne, limitate; punti di accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass; valore assoluto; disuguaglianza triangolare; limite di una successione; regole operative; teorema della permanenza del segno per le successioni; teorema del confronto; forme indeterminate; successioni notevoli. Nesso fra l'estremo superiore e la completezza dell’insieme dei numeri reali; numero di Nepero


2. Sommatorie e serie numeriche

Simbolo di sommatoria; somma dei primi n interi positivi; definizione di serie convergente, assolutamente convergente, divergente, indeterminata; definizione di somma di una serie; serie geometrica; serie armonica; criteri per stabilire la convergenza di una serie


3. Elementi della teoria delle funzioni reali di una variabile

Funzioni limitate; funzioni pari, dispari, monotone, periodiche; funzioni potenza, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche e loro grafici; principali formule di trigonometria; operazioni sui grafici; funzioni definite a tratti


4. Limiti di funzioni di una variabile

Definizione successionale di limite di una funzione; unicità del limite; limite destro e limite sinistro; asintoti; continuità; non esistenza del limite; intervalli; intorni; punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti, chiusi, compatti per successioni; teorema del confronto; teorema della permanenza del segno per le funzioni; proprietà operative dei limiti; continuità delle funzioni elementari; limite di una funzione composta; continuità di una funzione composta; limiti di polinomi; limiti di funzioni razionali; limiti notevoli; teorema degli zeri delle funzioni continue; teorema di Weierstrass


5. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Definizione della derivata; interpretazione geometrica della derivata; equazione della retta tangente; funzioni convesse e funzioni concave; derivata seconda e convessità; convessità e rette tangenti; derivata ennesima; derivate di funzioni elementari; punti angolosi; cuspidi; la derivabilità implica la continuità; regole di derivazione; teorema di Lagrange; test di monotonia; caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla; regola di de l’Hôpital; formula di Taylor; ricerca di massimi e minimi con o senza l’uso del calcolo differenziale; punti di flesso; studio del grafico di una funzione


6. Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Definizione dell’integrale di Riemann; interpretazione geometrica dell’integrale; condizioni sufficienti per l'integrabilità; proprietà dell’integrale; primitiva di una funzione; relazione fra due primitive su di uno stesso intervallo; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrale indefinito; integrali immediati; regole di integrazione; sfruttare le simmetrie nel calcolo integrale; integrazione di alcuni tipi di funzioni; integrali generalizzati o impropri; criterio del confronto


7. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

Classificazione delle equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni lineari del primo e del secondo ordine. Il metodo di somiglianza.

Metodi Didattici

Il corso è costituito da 96 lezioni frontali. Vengono frequentemente proposti dei problemi da affrontare individualmente. Le lezioni si avvalgono di rappresentazioni grafiche, alcune delle quali realizzate mediante appositi software o applet interattive.

Gli studenti sono invitati a partecipare attivamente frequentando le lezioni ed intervenendo per formulare quesiti e per proporre strategie risolutive per i problemi affrontati.

Nel rispetto del programma del corso, gli studenti possono chiedere che vengano approfonditi uno o più argomenti di proprio interesse. Qualora ne ravvisino la necessità, gli studenti possono anche richiedere il richiamo di uno o più prerequisiti onde poter comprendere meglio gli argomenti del programma.

Sono altresì previste forme anonime di comunicazione con il docente (questionari in forma scritta e/o sistemi telematici) come mezzo di assunzione di informazioni e dati conoscitivi con i quali il docente opera per riuscire ad adeguare l'insegnamento alle esigenze degli studenti (valutazione costruttiva e formativa).

Il docente è sempre raggiungibile per posta elettronica all'indirizzo greco@unica.it

Verifica dell'apprendimento

In sede d'esame (valutazione certificativa) ai candidati viene somministrato un test costituito da dieci domande elementari alle quali rispondere per iscritto. Sono consentiti al massimo due errori. Gli studenti che superano il test sono ammessi al colloquio individuale che inizia subito dopo. È consigliabile assistere agli esami degli altri studenti per evitare di commettere gli stessi errori. Il colloquio verte su alcuni quesiti scelti a campione dalla commissione esaminatrice fra i vari argomenti del corso. I quesiti sono, di norma, della stessa tipologia di quelli proposti a lezione. Lo studente dovrà rispondere utilizzando sia la parola che un apposito mezzo di scrittura (solitamente, una lavagna tradizionale) da utilizzarsi per un duplice scopo:

1. Sostenere le complesse argomentazioni che sono tipiche della matematica mediante l'uso della notazione convenzionale e, ove possibile, di opportune rappresentazioni grafiche;

2. Dimostrare la capacità di manipolare le espressioni formali nel rispetto delle regole che ne governano l'utilizzo.

Il punteggio della prova d'esame è attribuito mediante un voto espresso in trentesimi. L'attiva partecipazione degli studenti alle lezioni viene conteggiata a favore dello studente nella misura di 1-2 punti.

La determinazione del voto finale tiene conto dei seguenti elementi:

1. La logica seguita dallo studente nella risoluzione del quesito;

2. La correttezza della procedura individuata per la soluzione del quesito;

3. L'adeguatezza della soluzione proposta in relazione alle competenze attese;

4. L'impiego di un adeguato linguaggio, e in special modo l'uso pertinente delle congiunzioni "cioè", "quindi", "se";

5. La capacità di sostenere una discussione, e la capacità di individuare e correggere, discutendo, i propri eventuali errori, senza smarrirsi.

Sono valutati a favore dello studente, inoltre: lo spirito critico, la capacità di pensiero autonomo, lo spirito di iniziativa, e in generale il cosiddetto "pensiero divergente", cioè l'uso creativo ed originale delle conoscenze di cui lo studente è in possesso.

L'abilità nel calcolo dei limiti e nel calcolo differenziale, la conoscenza dei grafici delle funzioni più semplici, e, sia pure in minor misura, l'abilità nel calcolo di semplici integrali e nella determinazione del carattere di semplici serie numeriche sono condizioni necessarie per il raggiungimento di una valutazione pari a 18/30: tali abilità e conoscenze costituiscono gli elementi di base dell'analisi matematica. Ad un più completo raggiungimento degli obiettivi formativi corrisponde una votazione proporzionalmente maggiore. Agli studenti particolarmente brillanti può essere richiesto di affrontare problemi più impegnativi, corrispondenti al più alto livello cognitivo della tassonomia di Bloom, per il conseguimento della votazione massima con lode.

Si tenga presente che gli studenti si differenziano fortemente l'uno dall'altro perché ciascuno di essi è caratterizzato da una specifica combinazione degli elementi sopra richiamati. Di conseguenza il punteggio finale, che è costituito da un singolo valore numerico, non può per sua stessa natura conservare memoria di ciascuno degli elementi valutati. Ne consegue che studenti dal profilo nettamente diverso possono benissimo conseguire un identico punteggio: si pensi, a titolo di esempio, ad uno studente molto riflessivo (elemento 1) ma timido ed impacciato nel rapportarsi con gli estranei (elemento 5), e lo si confronti con uno studente più impulsivo ma anche brillante e chiaro nel sostenere le proprie tesi.

Testi

Testo adottato:

M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli.
Epsilon 1 - Primo corso di Analisi Matematica
McGraw-Hill.

Esercizi:

P. Marcellini, C. Sbordone.
Esercitazioni di matematica. Volume 1, parte prima e parte seconda.
Liguori.

Testi di consultazione:

T. M. Apostol. Calculus. Volume 1. Wiley.
R. Courant. Differential and integral calculus. Volume 1. Interscience/Wiley.
R. Courant, H. Robbins. What is mathematics? Oxford University Press.
E. Giusti. Analisi matematica. Volume 1. Boringhieri.
M. Kline. Storia del pensiero matematico. Einaudi.
C. D. Pagani, S. Salsa. Analisi matematica. Volume 1. Zanichelli.
G. B. Thomas, Jr., R. L. Finney. Calculus. Addison-Wesley.
W. F. Trench. Introduction to Real Analysis. Disponibile gratuitamente su internet.
W. Rudin. Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill.

Altre Informazioni

Il materiale didattico fornito dal docente si trova sul sito http://people.unica.it/antoniogreco/
Si raccomanda, in particolare, "Come si studia la matematica"

La presente scheda è stata compilata in conformità alla scheda SUA e tenendo conto delle indicazioni del progetto DISCENTIA e della guida operativa del PQA (Presidio della Qualità di Ateneo). Gli obiettivi formativi e le modalità di verifica dell'apprendimento sono specificati, rispettivamente, sulla base dei descrittori di Dublino e della tassonomia di Bloom.

Riferimenti:

Regolamento didattico: https://unica.it/unica/it/crs_60_64_4.page
Progetto DISCENTIA: http://sites.unica.it/qualita/discentia/
Presidio della Qualità: https://www.unica.it/unica/it/ateneo_s01_ss04_sss01.page
Tassonomia di Bloom: https://cft.vanderbilt.edu/guides-sub-pages/blooms-taxonomy/
I descrittori di Dublino, in sintesi: http://www.quadrodeititoli.it/descrittori.aspx?descr=172&IDL=1
Maggiori informazioni sui descrittori di Dublino si possono trovare nel documento originale del gruppo di lavoro di Bologna intitolato "A Framework for Qualifications of the European Higher Education Area" (2005), disponibile sul sito dell'ECA (European Consortium for Accreditation): http://ecahe.eu/ Vedere anche "The Origin of the Dublin Descriptors" della dott.ssa M. Leegwater

Questionario e social

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