Insegnamenti

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Docente
MARIA INFUSINO (Tit.)
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 8 64

Obiettivi

L’insegnamento si propone di fornire agli studenti i fondamenti della teoria del Calcolo delle Probabilità, che è alla base dello studio dei fenomeni aleatori nella realtà in cui viviamo e dunque riveste un ruolo fondamentale non solo in matematica ma in moltissime altre discipline scientifiche e sociali.

CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Lo studente dovrà acquisire una conoscenza completa degli elementi fondamentali del Calcolo delle Probabilità e della Teoria delle Distribuzioni, e la capacità di collegarli e confrontarli tra loro. Inoltre, dovrà essere in grado di dimostrare rigorosamente i risultati principali presentati a lezione e di fornire esempi concreti delle nozioni teoriche introdotte nel corso.

CAPACITA’ APPLICATIVE:
Lo studente dovrà mostrare familiarità ed autonomia nell’applicazione dei metodi introdotti nel corso ad esempi pratici ed esercizi. In particolare, dovrà saper risolvere problemi concreti coniugando autonomamente le conoscenze teoriche apprese con il riconoscimento e la selezione del modello adatto, seguendo gli esempi forniti durante il corso.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Il corso si propone di stimolare la valutazione obiettiva della didattica da parte degli studenti, proponendo loro un costante raffronto tra i contenuti teorici proposti durante le lezioni frontali e l’acquisizione degli stessi attraverso lo studio autonomo utilizzando i testi consigliati. Lo studente dovrà pertanto essere in grado di analizzare con senso critico le nozioni acquisite durante il corso e di utilizzarle autonomamente anche in altri contesti.

ABILITÀ NELLA COMUNICAZIONE:
Lo studente dovrà acquisire la capacità di esprimere con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico rigoroso i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilità.

CAPACITÀ DI APPRENDERE:
Lo studente svilupperà una metodologia di studio e analisi critica che gli permetterà di interpretare e approfondire le problematiche di Probabilità e Statistica che gli si presenteranno nel proseguo dello studio e della carriera universitaria/lavorativa.

Prerequisiti

È necessario che lo studente sia in possesso di elementi di Calcolo Combinatorio, di Algebra elementare e di Analisi (limiti, derivate e integrali) introdotti nei corsi standard di Algebra e Analisi del primo biennio della laurea triennale in Matematica. In conformità con il regolamento didattico del corso di laurea in Matematica A.A. 2021/22, non si può sostenere l’esame finale di questo insegnamento senza aver superato l’esame di Analisi Matematica 2.

Contenuti

1)Introduzione alla probabilità e sua assiomatizzazione
 •Introduzione al concetto di probabilità (definizione classica, frequentista e soggettiva)
 •Calcolo combinatorio (principi fondamentali, permutazioni, combinazioni, coefficienti binomiali)
 •Spazio campionario ed eventi (logica ed operazioni sugli eventi, successioni e limiti di eventi)
 •Algebre di insiemi e sigma-algebre
 •Definizione assiomatica di probabilità di Kolmogorov e prime conseguenze (eventi quasi certi ed eventi quasi impossibili)
 •Proprietà elementari della probabilità, teoremi delle probabilità totali e delle probabilità composte
 •Indipendenza, probabilità condizionata, teorema di Bayes

2)Variabili aleatorie
 •Definizione di variabile aleatoria e sua legge
 •Funzione di ripartizione
 2.1) Variabili aleatorie discrete
 •Densità di probabilità nel caso discreto.
 •Modelli di variabili aleatorie discrete: uniforme, bernoulliana, binomiale, geometrica, ipergeometrica, di Poisson.
 2.2) Variabili aleatorie assolutamente continue
 •Densità di probabilità nel caso assolutamente continuo.
 •Modelli di variabili aleatorie assolutamente continue: uniforme, normale, esponenziale, Gamma, Beta.
 2.3) Vettori aleatori
 •Vettori aleatori discreti
 •Vettori aleatori assolutamente continui
 •Vettori aleatori misti
 •Indipendenza di variabili aleatorie
 •Leggi congiunte e leggi marginali di un vettore aleatorio
 •Distribuzioni condizionate per vettori aleatori bivariati discreti, continui, misti.

3)Speranza matematica, varianza e altri indicatori
 •Speranza matematica e varianza di v.a. discrete e assolutamente continue
 •Momenti primi e secondi delle principali distribuzioni.
 •Funzione generatrice dei momenti, funzione generatrice di probabilità, funzione caratteristica e loro proprietà.
 •Covarianza e coefficiente di correlazione.
 •Disuguaglianza di Markov e di Chebyshev
 •Altri indicatori (e.g. mediana, quantili, moda)
 •Speranza condizionata

4)Operazioni su variabili aleatorie
 •Trasformazioni di variabili aleatorie e determinazione della densità a esse associata
 •Momenti di funzioni di variabili aleatorie
 •Trasformazioni di variabili aleatorie bivariate: somma, differenza, quoziente e prodotto di due variabili aleatorie
 •Trasformazioni di variabili aleatorie indipendenti
 •Valor medio e momenti di funzioni di variabili aleatorie
 •Altre distribuzioni notevoli: multinomiale, normale multivariata, Chi-Quadro, t-Student

5)Teoremi asintotici
 •Convergenza di variabili aleatorie
 •Legame tra i diversi tipi di convergenza
 •Teorema del limite centrale
 •Legge debole dei grandi numeri e sua applicazione per la stima di integrali
 •Legge forte dei grandi numeri

Metodi Didattici

In accordo con le attuali indicazioni d'Ateneo sulle modalità didattiche, l’insegnamento verrà erogato in modalità mista sincrona (contemporaneamente in presenza e diretta streaming online). Il corso prevede lezioni frontali di due ore (per un totale di 64 ore) sui contenuti teorici del corso sempre accompagnati da esempi illustrativi ed esercizi svolti insieme agli studenti. Sono inoltre previste esercitazioni aggiuntive (per un totale di 32 ore) consistenti nella risoluzione di esercizi sotto la guida di un Tutor. Alcuni degli esercizi saranno svolti con l'ausilio del pacchetto statistico R.

Verifica dell'apprendimento

La valutazione si svolgerà attraverso una media ponderata fra una prova scritta e una prova orale con voto finale in trentesimi. La prova scritta, riguardante 4 o 5 esercizi simili a quelli svolti durante il corso, è prevista in 2 ore e 30 minuti. Verrà valutata sia la padronanza degli strumenti propri della disciplina che la capacità di problem solving. Si può accedere all'esame orale solo dopo avere superato la prova scritta con un voto di almeno 18 trentesimi. Durante la prova orale lo studente dovrà dimostrare di aver capito ed assimilato gli argomenti svolti durante le lezioni, presentando con rigore matematico le nozioni e le dimostrazioni apprese durante il corso. Si noti che una risposta eccessivamente insufficiente può compromettere l’intera prova orale. Un esito negativo della prova orale impone la ripetizione dell’intera procedura (scritto e orale).

Compatibilmente con le indicazioni d'Ateneo sulle modalità di svolgimento degli esami in funzione dell'evoluzione dell'emergenza COVID-19, gli esami si terranno in presenza oppure in modalità digitale tramite la piattaforma Teams o su una piattaforma alternativa concordata in precedenza con gli studenti.

Testi

Testi di riferimento
- P. Baldi, Calcolo delle probabilità, McGraw-Hill, 2011.
- G. Dall’Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli Editore, 2003.
- A. Di Crescenzo, V. Giorno, A.G. Nobile, L.M. Ricciardi, Un primo corso in probabilità, Liguori Editore, 2009.
- S. M. Ross, Calcolo delle Probabilità, Apogeo, 2007.

Testi di consultazione
-F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità: Un'introduzione attraverso modelli e applicazioni, UNITEXT 67,Springer-Verlag, 2013.
- Neil A. Weiss Calcolo delle Probabilità, Addison Wesley, 2008.
Per un’ introduzione a R:
-S. M. Iacus, G. Masarotto, Laboratorio di statistica con R, McGraw-Hill, 2007
- G.J.Kerns, Introduction to Probability and Statistics Using R ( https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.174.1836&rep=rep1&type=pdf ), 2010.

Altre Informazioni

Materiale supplementare sarà disponibile sul sito del docente
https://unica.it/unica/it/ateneo_s07_ss01.page?contentId=SHD244889

Sino a quando le norme di contenimento del COVID-19 prevederanno il distanziamento sociale, il ricevimento degli studenti avverrà tramite la piattaforma Microsoft Teams nell’orario comunicato dalla docente all’inizio del corso o per appuntamento da concordare per email maria.infusino@unica.it

Il nostro Ateneo fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Questionario e social

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