Insegnamenti

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Docente
ANTONIO GRECO (Tit.)
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 10 80

Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione

Conoscenza e capacità di comprensione dei primi rudimenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie e di alcuni suoi sviluppi astratti, come ad esempio la rappresentazione delle soluzioni come limiti (di successioni o di somme). Conoscenza e capacità di comprensione dei primi rudimenti della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue.

2. Capacità applicative

Capacità di risolvere per quadrature i tipi più semplici di equazioni differenziali ordinarie. Capacità di stabilire l'eventuale convergenza (puntuale o uniforme) di semplici successioni e serie di funzioni, e di sviluppare in serie (di Taylor o di Fourier) una semplice funzione data. Capacità di utilizzare i principali teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

3. Autonomia di giudizio

Sviluppare spirito critico, capacità di pensiero autonomo, e intraprendenza, con riferimento ai problemi sui quali il corso si impernia. Capacità di giudicare la correttezza di una dimostrazione, o, più in generale, di un ragionamento matematico, e la buona positura di una definizione.

4. Abilità nella comunicazione

Saper comunicare informazioni, idee, problemi e soluzioni utilizzando la terminologia convenzionale, in modo tale da poter interagire costruttivamente, nell'immediato, con gli altri studenti e con i docenti, e successivamente con i propri colleghi di lavoro ed in un'eventuale attività di insegnamento. Saper motivare razionalmente le proprie affermazioni, supportandole con lo svolgimento di semplici dimostrazioni.

5. Capacità di apprendere

Essere in grado di consultare e interpretare i testi universitari per formare ed arricchire le proprie conoscenze. Saper utilizzare le fonti di informazione nell'ambito di un'attività volta alla risoluzione di problemi. Essere in grado, qualora se ne presentasse la necessità, di documentarsi anche su argomenti vicini ai contenuti del corso ma non rientranti interamente in essi.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali. Successioni e serie numeriche.

Contenuti

Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie.

Generalità sulle equazioni ordinarie. Concetto di soluzione e verifica della correttezza di una soluzione. Integrale generale. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni lineari e struttura dello spazio delle soluzioni. Equazione di Eulero. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità in piccolo della soluzione di un problema ai valori iniziali.


Successioni e serie di funzioni.

Generalità. Convergenza puntuale, convergenza uniforme. Criterio di Cauchy. Continuità, derivabilità e integrazione della funzione limite. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Analiticità della funzione somma. Esempi notevoli. Serie di Fourier: le origini; condizioni sufficienti per la convergenza; disuguaglianza di Bessel; uguaglianza di Parseval.


I più semplici spazi funzionali.

Gli spazi C^k([a,b]), la loro norma, la metrica, e la proprietà di completezza. Le norme-p in R^N. Il teorema delle contrazioni di Banach.


Introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.

Costruzione della misura di Lebesgue. Numerabile additività. Nozione di funzione misurabile. Definizione dell'integrale di Lebesgue e confronto con l'integrale di Riemann. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema della convergenza limitata, teorema della convergenza dominata, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou. Derivazione sotto il segno di integrale. Teorema di Fubini-Tonelli.

Metodi Didattici

Il corso è costituito da 80 ore di lezioni frontali.

Nella prima lezione vengono presentati i contenuti e le modalità di svolgimento del corso, e vengono date indicazioni sul materiale didattico e su come impostare lo studio della disciplina. Vengono inoltre indicate le modalità di svolgimento dell'accertamento finale della preparazione, come previsto dall'art. 8 del regolamento didattico del corso di laurea.

Le lezioni successive si articolano come segue: una parte dell'attività consiste nell'esposizione dei contenuti del corso finalizzata a perseguire l'obiettivo 1 (conoscenza e comprensione); una seconda parte consiste invece nella illustrazione dei procedimenti esecutivi o risolutivi riconducibili all'obiettivo 2 (capacità applicative). Gli studenti sono frequentemente invitati ad affrontare problemi matematici che il docente propone tenendo conto del programma del corso, dello stato di avanzamento delle lezioni, dell'esperienza maturata nelle edizioni precedenti del corso, nonché del feedback fornito dagli studenti. Tali consegne sono finalizzate al raggiungimento dei seguenti obiettivi:

- obiettivo 1 (conoscenza e comprensione), tramite la contestualizzazione delle nozioni teoriche del programma;

- obiettivo 2 (capacità applicative), mediante l'effettivo utilizzo dei procedimenti esecutivi o risolutivi illustrati a lezione;

- obiettivo 3 (autonomia di giudizio), in quanto la possibilità di dare soluzione ai problemi proposti richiede da parte dello studente l'effettuazione di scelte ragionate ed autonome;

- obiettivo 5 (capacità di apprendere), in quanto gli studenti sono stimolati a consultare i testi consigliati, ai quali una parte delle consegne fa esplicito riferimento.

Una terza tipologia di attività (detta talvolta "lezione euristica" o "lezione socratica") consiste nella discussione, condotta dal docente, e nella risoluzione dei problemi proposti, con la partecipazione degli studenti interessati, mirante a perseguire le seguenti finalità:

1) consolidare le conoscenze (obiettivo 1) e le capacità applicative (obiettivo 2);

2) coltivare e perfezionare l'autonomia di giudizio (obiettivo 3) mediante il confronto fra le valutazioni degli studenti e quelle del docente;

3) coltivare e sviluppare le capacità dialettiche facenti parte dell'obiettivo formativo n. 4.

Può benissimo accadere, qualora le esigenze didattiche lo richiedano, che una stessa ora di lezione frontale si articoli, al suo interno, in attività rientranti in due, o anche in tutte e tre le tipologie sopra specificate.

Le lezioni tendono a disincentivare, come previsto dall'art. 2 del regolamento didattico del corso di laurea, lo studio puramente sintattico-simbolico (mnemonico) della materia, e si avvalgono di rappresentazioni grafiche (realizzate in parte sotto forma di disegni a mano libera, e per la rimanente parte mediante grafica computerizzata, applet interattive, o semplici modelli realizzabili artigianalmente) nonché delle potenzialità dei CAS - Computer Algebra Systems - per la risoluzione simbolica di equazioni differenziali e per la determinazione della serie di Fourier di alcune funzioni.

Nel rispetto del programma del corso, gli studenti possono chiedere apertamente di approfondire uno o più argomenti di proprio interesse. Qualora ne ravvisino la necessità, gli studenti possono anche richiedere la trattazione di uno o più prerequisiti onde poter comprendere meglio gli argomenti del programma.

Sono altresì previste forme anonime di comunicazione con il docente (questionari in forma scritta e/o sistemi telematici) come mezzo di assunzione di informazioni e dati conoscitivi con i quali il docente opera per riuscire ad adeguare l'insegnamento alle esigenze degli studenti (valutazione in itinere costruttiva e formativa).

Il docente è sempre raggiungibile per posta elettronica all'indirizzo greco@unica.it

Verifica dell'apprendimento

In sede d'esame (valutazione certificativa), allo studente vengono proposti alcuni quesiti scelti a campione fra i vari argomenti del corso. I quesiti sono, di norma, della stessa tipologia di quelli affrontati a lezione. Una rassegna di domande-tipo si può trovare sul sito http://people.unica.it/antoniogreco/materiale-didattico/. In conformità al regolamento didattico del corso di laurea (art. 8), lo studente dovrà rispondere utilizzando sia la parola che un apposito mezzo di scrittura (solitamente, una lavagna tradizionale) da utilizzarsi per un duplice scopo:

A. Sostenere le complesse argomentazioni che sono tipiche della matematica mediante l'uso della notazione convenzionale e, ove possibile, di opportune rappresentazioni grafiche;

B. Dimostrare la capacità di manipolare le espressioni formali nel rispetto delle regole che ne governano l'utilizzo.

Il punteggio è attribuito mediante un voto espresso in trentesimi. Per superare l'esame, e riportare quindi un voto non inferiore a 18/30, lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito una conoscenza elementare degli argomenti del corso. Ad un più completo raggiungimento degli obiettivi formativi corrisponde una votazione proporzionalmente maggiore. Agli studenti particolarmente brillanti può essere richiesto di affrontare problemi più impegnativi, corrispondenti al più alto livello cognitivo della tassonomia di Bloom, per il conseguimento della votazione massima con lode. La valutazione certificativa mira ad accertare il raggiungimento degli obiettivi formativi indicati nella scheda SUA (cf. pag. 7), ed in particolare:

- con riferimento all'obiettivo 1 (Conoscenza e comprensione), la conoscenza e padronanza dei concetti quali successioni e serie di funzioni; serie di potenze e serie di Fourier; funzioni analitiche; equazioni differenziali; misura e integrazione di Lebesgue;

- con riferimento all'obiettivo 2 (Capacità  di applicare conoscenza e comprensione), la capacità di studiare la convergenza di serie e successioni di funzioni, e la capacità di risolvere alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie (in particolare quelle lineari a coefficienti costanti).

Inoltre lo studente dovrà  anche dimostrare una adeguata conoscenza degli aspetti teorici della materia: questo è necessario per poter affrontare con profitto lo studio di argomenti più avanzati dell'Analisi Matematica. La determinazione del voto tiene conto dei seguenti elementi:

1. La logica seguita dallo studente nella risoluzione del quesito;

2. La correttezza della procedura individuata per la soluzione del quesito;

3. L'adeguatezza della soluzione proposta in relazione alle competenze attese;

4. L'impiego di un adeguato linguaggio;

5. La capacità di sostenere una discussione, e la capacità di individuare e correggere, discutendo, i propri eventuali errori, senza smarrirsi.

Sono valutati a favore dello studente, inoltre: lo spirito critico, la capacità di pensiero autonomo, lo spirito di iniziativa, e in generale il cosiddetto "pensiero divergente", cioè l'uso creativo ed originale delle conoscenze di cui lo studente è in possesso.

Si tenga presente che gli studenti si differenziano fortemente l'uno dall'altro perché ciascuno di essi è caratterizzato da una specifica combinazione degli elementi sopra richiamati. Di conseguenza il punteggio finale, che è costituito da un singolo valore numerico, non può per sua stessa natura conservare memoria di ciascuno degli elementi valutati. Ne consegue che studenti dal profilo nettamente diverso possono benissimo conseguire un identico punteggio: si pensi, a titolo di esempio, ad uno studente molto riflessivo (elemento 1) ma timido ed impacciato nel rapportarsi con gli estranei (elemento 5), e lo si confronti con uno studente più impulsivo ma anche brillante e chiaro nel sostenere le proprie tesi.

Testi

Testo adottato:

Fusco, Marcellini, Sbordone:
Lezioni di Analisi Matematica Due, Zanichelli.

Il testo equivale a:

Fusco, Marcellini, Sbordone:
Analisi Matematica Due, Liguori.

Eserciziario:

Marcellini, Sbordone:
Esercitazioni di Matematica, vol. 2, parte prima e parte seconda, Liguori.

Dispense del docente:

http://people.unica.it/antoniogreco/didattica/materiale-didattico/

Testi per approfondimenti:

Barutello, Conti, Ferrario, Terracini, Verzini:
Analisi Matematica 2, Apogeo.

Giusti:
Analisi Matematica, vol. 2, Boringhieri.

Kline:
Storia del Pensiero Matematico, vol. 1 e vol. 2, Einaudi.

Pagani, Salsa:
Analisi Matematica, vol. 2, Masson/Zanichelli.

Rudin:
Principi di Analisi Matematica (volume unico), McGraw-Hill.

Altre Informazioni

Per informazioni sui disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) vedere http://corsi.unica.it/fisica/info-dsa/

Il materiale didattico fornito dal docente si trova sul sito http://people.unica.it/antoniogreco/materiale-didattico/

La presente scheda è stata compilata in conformità al regolamento didattico del corso di laurea ed alla scheda SUA, tenendo conto delle indicazioni del progetto DISCENTIA e della guida operativa del PQA (Presidio della Qualità di Ateneo). Gli obiettivi formativi e le modalità di verifica dell'apprendimento sono specificati, rispettivamente, sulla base dei descrittori di Dublino e della tassonomia di Bloom.

Riferimenti:

Regolamento didattico: http://corsi.unica.it/matematica/regolamenti/laurea-triennale/
Scheda SUA: http://corsi.unica.it/matematica/assicurazione-della-qualita/documenti-sua-e-riesame-cds/
Progetto DISCENTIA: http://sites.unica.it/qualita/discentia/
Presidio della Qualità: http://people.unica.it/pqa/
Tassonomia di Bloom: https://cft.vanderbilt.edu/guides-sub-pages/blooms-taxonomy/
I descrittori di Dublino, in sintesi: http://www.quadrodeititoli.it/descrittori.aspx?descr=172&IDL=1
Maggiori informazioni sui descrittori di Dublino si possono trovare nel documento originale del gruppo di lavoro di Bologna intitolato "A Framework for Qualifications of the European Higher Education Area" (2005), disponibile sul sito dell'ECA (European Consortium for Accreditation): http://ecahe.eu/ Sullo stesso sito si trova anche "The Origin of the Dublin Descriptors" della dott.ssa Marlies Leegwater

Questionario e social

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