Insegnamenti

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Docente
FRANCESCO DEMONTIS (Tit.)
Periodo
Primo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 8 64

Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione. L'insegnamento, rivolto a studenti del III anno del corso di Laurea in Matematica, si propone di far acquisire allo studente una conoscenza teorica e operativa dei concetti della meccanica analitica e, in particolare, del formalismo lagrangiano e/o hamiltaniano per sistemi meccanici formati da un numero finito di corpi rigidi. I vari argomenti vengono approfonditamente descritti fornendo una rigorosa giustificazione teorica.
2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate.
Durante il corso verranno discusse le possibili applicazioni dei metodi studiati, sia per quanto riguarda la risoluzione di particolari problemi matematici, sia per quanto concerne la loro applicazione in discipline affini (fisica e in ingegneria).
3. Autonomia di giudizio.
Il corso fornisce agli studenti diligenti le competenze necessarie ad applicare le metodologie matematiche acquisite alla risoluzione di problemi applicativi che tipicamente si presentano nella meccanica.
4. Abilità comunicative.
La correzione della prova scritta tiene conto della capacità dello studente di esporre in modo ordinato e coerente gli argomenti studiati. La sua abilità comunicativa viene ulteriormente valutata durante la prova orale.
5. Capacità di apprendere.
Il corso fornisce agli studenti diligenti una preparazione di base sufficiente alla comprensione di testi matematici avanzati di Meccanica Analitica.

Prerequisiti

Risulta essere propedeutico al presente corso il superamento dell'esame Meccanica 1. In particolare, è necessario conoscere gli strumenti analitici e geometrici che permettano lo studio di funzioni di più variabili (derivate parziali, differenziale, studio di massimi e minimi relativi, integrali, equazioni differenziali, etc.) e di curve e superfici sia in forma parametrica che come luogo degli zeri di una o due funzioni.

Contenuti

1. Sistemi lagrangiani generali. Principio di D'Alembert e equazioni di Lagrange. Determinismo delle equazioni di Lagrange e spazio delle configurazioni di un sistema olonomo. Trasformazioni di Gauge. Integrali primi dei momenti e coordinate cicliche. Momenti cinetici. Integrale primo dell'energia. Teoremi di conservazione e proprietà di simmetria. Discussione di Weistrass e esercizi per sistemi olonomi con un grado di libertà. Esercizi per sistemi olonomi con due gradi di libertà. Moti spontanei e geodetiche.
2. Il problema dei due corpi. Generalità. Riduzione al caso di un solo punto in un campo di forze centrali (problema ristretto dei due corpi). Trattazione newtoniana e lagrangiana del problema ristretto dei due corpi. Integrali primi nel problema ristretto dei due corpi.
. Principi differenziali e integrali della Meccanica. L'approccio variazionale alla Meccanica. Cenni di calcolo delle variazioni. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. Equazioni di Lagrange dedotte dal principio variazionale di Hamilton (per sistemi olonomi conservativi) e viceversa. Estensione del principio dell'Hamilton ai sistemi lagrangiani generali: equazioni di Eulero-Lagrange. Moti variati sincroni. Principio variazionale dell'Holder (Maupertuis) o dell'azione stazionaria e principio di minima azione. Caso di un sistema olonomo sottoposto a sollecitazione conservativa.
4. Le equazioni canoniche di Hamilton. Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani: Trasformazione di Legendre. Coordinate cicliche e teoremi di conservazione. Coordinate cicliche e metodo di Routh. Espressione esplicita della funzione hamiltoniana nel caso dinamico. Esempi. Teoremi di conservazione e significato fisico dell'hamiltoniana.
5. Trasformazioni canoniche. Definizione. Condizione sufficiente ad assicurare la natura canonica di una trasformazione (Condizione di canonicità di Lie). Teorema della funzione generatrice. Esempi di trasformazioni canoniche. Forma esplicita delle condizioni di completa canonicità: parentesi di Poisson.
6. Posizioni di equilibrio e Stabilità. Definizione di configurazione di equilibrio per un sistema materiale, in particolare per un sistema olonomo. Stabilità ed instabilità secondo Liapunov. Il teorema di Lagrange-Dirichlet sulla stabilità. Teorema d'instabilità di Liapunov.
7. Piccole oscillazioni. Piccole oscillazioni di un sistema conservativo ad uno o due gradi di libertà attorno ad una configurazione di equilibrio stabile. Caso generale: equazione agli autovalori e riduzione agli assi principali. Frequenze di vibrazione libera e coordinate normali.
8. Dinamica del corpo rigido. Equazioni cardinali. Moto di un solido con un asse fisso. Pendolo composto. Teorema di Huygens. Equazioni dinamiche di Eulero. Moto di un solido libero intorno al baricentro. solidi a struttura giroscopica rispetto ad un loro punto e giroscopi. Equazioni di Eulero per un solido a struttura giroscopica. Moto alla Poinsot: equazioni del moto. Integrali primi. Rotazioni permanenti. Significato dei momenti di deviazione. Carattere precessionale del moto alla Poinsot di un solido a struttura giroscopica rispetto al punto fisso.

Metodi Didattici

Il corso consiste di 64 ore di lezione frontale. Tali lezioni avverranno mediante l'uso di lavagna e gesso, proiettore e slides e sono organizzate in modo da illustrare sia gli aspetti teorici del formalismo lagrangiano e hamiltoniano che la loro applicazione alla risoluzione di problemi di dinamica. Al fine di garantire una maggiore efficacia dell'attività didattica, gli argomenti teorici sono integrati da esercitazioni, che prevedono anche lo svolgimento di prove d'esame. Contemporaneamente al corso il docente svolge inoltre un'attività di tutorato (15-20 ore) volta ad assistere gli studenti nello studio e nella preparazione della prova finale. Durante le ore di tutorato, vengono dettagliatamente discussi (e risolti) gli esercizi assegnati per casa e che gli studenti dovrebbero svolgere come lavoro autononmo. Il docente presta inoltre assistenza costante agli studenti, nell'arco dell'intero anno accademico, sia nell'orario di ricevimento che attraverso messaggi di posta elettronica.

Il principale strumento a supporto della didattica è costituito dal sito web del docente del corso: http://people.unica.it/francescodemontis/ . Su tale sito sono disponibili informazioni aggiornate in tempo reale, che includono: un diario del corso che riporta gli argomenti svolti in ciascuna lezione, informazioni sulle attività didattiche, ulteriore materiale didattico, testi e soluzioni di prove d'esame.

Verifica dell'apprendimento

L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.

Compatibilmente con le indicazioni d'Ateneo sulle modalità di svolgimento degli esami in funzione dell'evoluzione dell'emergenza COVID-19, gli esami si potrebbero tenere in presenza oppure a distanza.

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nello svolgimento di alcuni esercizi, inerenti l'intero programma del corso, che per essere risolti richiedono sia abilità operative che conoscenze teoriche. Si può sostenere la prova orale solo se si riporta una valutazione di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale consiste nella discussione degli argomenti non trattati con sufficiente chiarezza nella prova scritta e in ulteriori domande di approfondimento sull'intero programma svolto. La prova orale generalmente dura 30 minuti.
Nel caso in cui gli esami si tenssero a distanza l'esame consisterà della sola prova orale.


Per superare l'esame lo studente deve dimostrare di avere conseguito una conoscenza sufficiente di tutti gli argomenti del corso. Per conseguire il massimo punteggio (pari a 30/30 e lode) lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso.

Testi

Testo adottato: Herbert GOLDSTEIN, Charles POOLE, John SAFKO, Meccanica Classica, Zanichelli – Bologna (2005)

Testi di consultazione:
a) J.R. Taylor, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna (2006);
b) T. Levi Civita e U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale e complementi alle lezioni di meccanica razionale, Volumi 1 e 2 curato da Maschio G., Cirillo N. M., Ruggeri T. Editore: Compomat; Pubblicato a Gennaio 2013 (si tratta della ristampa del celebre trattato precedentemente edito da Zanichelli);
c) A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri - Torino (2002).

Altre Informazioni

Il nostro Ateneo fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Questionario e social

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