Insegnamenti

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Docente
FABRIZIO CUCCU (Tit.)
Periodo
Primo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 10 80

Obiettivi

CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE
Lo scopo dell'insegnamento è l'apprendimento del calcolo differenziale e integrale in più variabili. Limiti di funzioni, continuità, derivabilità e differenziabilità. Integrali multipli, curvilinei e di superficie.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE
Lo studente dovrà essere in grado di applicare la teoria sviluppata allo studio di problemi di ottimizzazione libera e vincolata in più variabili (in particolare in dimensione due e tre), al calcolo di integrali multipli, curvilinei e di superficie e allo studio delle forme differenziali lineari nello spazio euclideo in due e tre dimensioni.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Il corso propone sia un approccio intuitivo (con esempi e riferimenti principalmente alla Fisica) che uno formalmente rigoroso (dimostrazioni logico-deduttive) dei concetti matematici affrontati in modo che lo studente sviluppi una visione più ampia possibile della materia.

ABILITÀ COMUNICATIVE
Lo studente dovrà essere in grado di esporre in forma precisa le nozioni del corso, sia quelle più strettamente teoriche (enunciati e dimostrazioni dei teoremi) che quelle computazionali (calcolo di derivate e integrali).

CAPACITÀ DI APPRENDERE
Lo studente acquisirà le nozioni del calcolo differenziale e integrale in più variabili necessarie per affrontare lo studio di gran parte degli altri rami della Matematica e della Fisica che incontrerà nel seguito del suo percorso formativo.

Prerequisiti

Conoscenza della struttura algebrica e topologica dell'insieme dei numeri reali, conoscenze elementari di algebra lineare e geometria analitica nel piano e nello spazio e del calcolo differenziale e integrale in una variabile (comprese le serie e le successioni numeriche).

Contenuti

ELEMENTI DI TOPOLOGIA IN R^n
Intorni circolari, insiemi aperti, chiusi, punti di accumulazione, successioni in R^n, insiemi compatti, aperti connessi.

FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI
Grafico di una funzione, insiemi di livello, limiti, continuità, derivate parziali, gradiente, matrice hessiana, differenziabilità, differenziale, derivata di funzioni composte (regola della catena), derivate direzionali, teorema del valor medio di Lagrange, formula di Taylor, differenziale secondo. Massimi e minimi locali, punti stazionari e condizione necessaria, condizioni del secondo ordine.

FUNZIONI VETTORIALI DI PIÙ VARIABILI
Funzioni componenti, limiti, continuità, derivabilità, matrice jacobiana, differenziabilità, teorema di rappresentazione del differenziale di una funzione composta (regola della catena), determinante jacobiano.

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI DI FUNZIONI (INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE)
Definizione di curva, curve regolari, curve equivalenti, curve orientate, lunghezza di un arco di curva, integrale curvilineo di una funzione.

FORME DIFFERENZIALI LINEARI
Richiami sullo spazio duale di R^n, forme differenziali lineari, lavoro di un campo vettoriale, integrale di una forma differenziale (integrale curvilineo di seconda specie), forme esatte, chiuse, primitive, campi conservativi, irrotazionali, funzioni potenziale, aperti semplicemente connessi, forme differenziali in un aperto semplicemente connesso, calcolo delle primitive.

INTEGRALI DOPPI E TRIPLI
Domini normali nel piano, area di un dominio normale, definizione di integrabilità, integrali doppi, integrabilità delle funzioni continue, formule di riduzione per gli integrali doppi. Domini regolari nel piano, orientazione positiva della frontiera di un dominio regolare, formule di Gauss-Green, formula per il cambiamento di variabili nel piano, coordinate polari. Domini normali nello spazio, volume di un dominio normale, definizione di integrabilità, integrali tripli, integrabilità delle funzioni continue, formule di riduzione per gli integrali tripli, integrazione per strati, formula per il cambiamento di variabili nello spazio, coordinate cilindriche e sferiche.

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE
Definizione di superficie regolare parametrizzata, superfici regolari equivalenti, area di una superficie regolare, superfici orientabili e orientazione, superficie regolare con bordo, integrale di superficie di una funzione, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie, formula di Stokes, il teorema della divergenza.

I TEOREMI DELLA FUNZIONE IMPLICITA E DELLA FUNZIONE INVERSA
Il teorema della funzione implicita (o teorema del Dini), il teorema della funzione inversa (o di invertibilità locale), retta (risp. piano) tangente ad una curva (risp. superficie) definita implicitamente.

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI
Definizioni di estremo locale vincolato, globale vincolato, di punto stazionario vincolato e loro legame (metodo dei moltiplicatori di Lagrange).

Metodi Didattici

L'insegnamento è costituito da lezioni frontali alla lavagna per un totale di 80 ore durante le quali vengono illustrati gli aspetti teorici, gli esempi di applicazioni e la risoluzione di qualche esercizio esemplificativo della teoria.
Inoltre, alcuni giorni dopo ciascun appello d'esame il docente illustra la risoluzione degli esercizi alla lavagna.
In base alla disponibilità, è prevista una attività di tutoraggio di 40 ore. La partecipazione all'attività di tutoraggio
è facoltativa.

Verifica dell'apprendimento

Verranno valutati: acquisizione delle nozioni, conoscenza del linguaggio disciplinare, capacità di mettere in relazione concetti e conoscenze, capacità espositiva.

La verifica dell'apprendimento è costituita da una prova scritta seguita da una orale. Il superamento della prima è necessario per poter accedere alla seconda.

La prima consiste nella risoluzione di cinque esercizi e mira a verificare le abilità di calcolo dello studente. Gli esercizi sono relativi a problemi di ottimizzazione libera e vincolata in più variabili (in particolare in dimensione due e tre), al calcolo di integrali multipli, curvilinei e di superficie e allo studio delle forme differenziali lineari nello spazio euclideo in due e tre dimensioni. Il tempo massimo della prova è di due ore e trenta minuti. Non è permesso l’uso di libri o appunti (ma è consentito avere un formulario sulle funzioni trigonometriche e iperboliche). Durante la prova viene stabilita una data in cui il docente risolverà gli esercizi proposti e consegnerà i compiti corretti e valutati. La valutazione tiene conto sia della capacità di impostare correttamente la risoluzione degli esercizi che dell'abilità vera e propria nel calcolo, il voto è proporzionale alla porzione di esercizi correttamente svolta. La prova scritta si considera superata se la votazione è di almeno 18/30.

La data della prova orale viene concordata con il docente personalmente, telefonicamente o via email. Questa consiste in un colloquio durante il quale lo studente deve esporre e dimostrare di aver compreso i concetti (definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esempi notevoli) relativi al calcolo differenziale e integrale in più variabili e sviluppati durante le lezioni frontali. La prova orale dura circa un’ora ed è valutata proporzionalmente ai seguenti fattori: acquisizione delle nozioni riportate negli obiettivi, capacità logico-deduttive e capacità espositive.

Se si supera la prova orale, il voto finale (espresso in trentesimi) è approssimativamente pari al 30% del voto della prova scritta più il 70% di quello della prova orale. Se non si supera la prova orale si deve ripetere la prova scritta.

Testi

Libri di testo:

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi Matematica Due, Liguori editore

P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica, vol.2, parte prima e seconda, Liguori editore

Alcune note integrative del docente

Altre Informazioni

Ulteriori informazioni sul corso sono disponibili alla pagina internet:

http://people.unica.it/fabriziocuccu/didattica/analisi-matematica-2/

In particolare sono reperibili il programma dettagliato del corso, le note integrative, i testi e le soluzioni di tutte le vecchie prove scritte.

Il ricevimento studenti è previsto su appuntamento, è possibile contattare il docente tramite email: fcuccu@unica.it oppure telefonicamente: 0706758510.

Il nostro Ateneo fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Questionario e social

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