Insegnamenti

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Docente
LUCIO CADEDDU (Tit.)
Periodo
Primo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 12 96

Obiettivi

Obiettivi formativi:
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE: apprendimento dei concetti base dell'Analisi
Matematica: funzioni di una variabile reale, continuità, derivabilità, studio del grafico, studio dei
limiti, sviluppo di Taylor. Successioni e serie numeriche. Integrale di Riemann e metodi di calcolo di
aree.
CAPACITA’ APPLICATIVE: lo studente deve essere in grado di applicare tutte le conoscenze generali
dell'analisi matematica necessarie alla comprensione dei concetti relativi allo studio di funzione (disegno del
grafico), al calcolo degli integrali, allo studio della convergenza di serie e successioni numeriche, anche con
parametro.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: il corso si propone di stimolare la valutazione obiettiva della didattica
proponendo costantemente agli studenti un raffronto tra i contenuti teorici proposti duranti le lezioni
frontali e l’acquisizione degli stessi attraverso lo studio autonomo utilizzando i testi consigliati e il
materiale didattico fornito.
ABILITÀ NELLA COMUNICAZIONE: capacità di esprimere con l’appropriata terminologia matematica i
concetti fondamentali dell'analisi con particolare riferimento a teoremi e dimostrazioni, mettendo in risalto e
differenziando tesi e ipotesi, mostrando una buona padronanza delle diverse tecniche di dimostrazione
(costruttiva, per assurdo, per induzione etc.)
CAPACITÀ DI APPRENDERE: lo studente svilupperà una metodologia di studio e analisi che gli permetta
di interpretare e approfondire le problematiche che gli si presenteranno nel proseguo dello studio e della
carriera universitaria/lavorativa.
COMPETENZE ATTESE: sviluppo della capacità di comunicazione professionale nell'ambito matematico,
grazie all’uso di una terminologia corretta e di una modalità di descrizione organizzata e comprensibile utile
non solo per il superamento dell’esame, ma anche in vista di una preparazione propedeutica agli esami
successivi (in particolare di analisi).

Prerequisiti

Nozioni di base della teoria degli insiemi e principali proprietà degli insiemi numerici fondamentali. Calcolo algebrico e simbolico elementare. Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Sistemi di equazioni e disequazioni. Trigonometria.
Nozioni di base di geometria analitica (rette e curve nel piano cartesiano).

Contenuti

1 Insiemi numerici e loro proprietà. Proprietà degli insiemi di numeri reali: maggiorante, minorante, estremo inferiore e superiore, massimo, minimo.
2 Topologia della retta e del piano: punti interni, esterni, di frontiera, isolati, di accumulazione.
Insiemi aperti, chiusi, limitati (teo. 2.1, 2.2 2.3 (cd)). Teorema di Bolzano Weierstrass (sd). La retta ampliata. Cenni su insiemi compatti, teorema di Heine-Borel (sd).
3 Funzioni. Definizioni ed esempi di funzione, funzioni iniettive, suriettive, bigettive, composte, inverse.
Il principio di induzione con applicazioni (disuguaglianza di Bernoulli (cd)).
4 Funzioni di variabile reale: studio del segno e simmetrie, valore assoluto, funzioni pari, dispari e limitate. Massimi e minimi locali e globali.
Funzioni monotone. Esempi di funzioni elementari e non elementari.
5 Limiti per funzioni da R in R. Definizione di limite, limite destro e sinistro per eccesso e per difetto teorema di unicità del limite (cd).
Definizioni di limite al finito e all'infinito. Teorema della permanenza del segno (cd). Teorema del confronto (cd).
Limiti notevoli, limite di sin(x)/x) (cd) e tutti i limiti da esso deducibili (cd). Operazioni con limiti (cd). Caso di non esistenza del limite. Forme indeterminate. Limite di funzione composta (sd). Esistenza del limite per funzioni monotone (sd). Limiti di potenze, esponenziali, logaritmi. Infiniti e infinitesimi.Simboli di Landau. Asintoti.
6 Successioni e serie: definizione e limite di una successione, progressione geometrica, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, il numero “e”, limite notevole e i limiti notevoli da esso deducibili (sd), massimo e minimo limite. Successioni e topologia, fondamentale-limitata (cd), criterio di Cauchy (cd).
Serie numeriche, geometriche e telescopiche, serie a termini positivi, condizione necessaria (cd), criterio del confronto, del rapporto e della radice, criterio di Cauchy (tutti cd), criterio di condensazione (sd), serie armonica generalizzata, convergenza (assoluta semplice)(cd), serie alternate, criterio di Leibnitz (sd).
7 Funzioni continue, continuità da destra e da sinistra. Continuità della funzione composta(sd). Discontinuità di I,II e III specie e delle funzioni monotone(cd). Teorema della permanenza del segno, degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass(tutti cd). Continuità uniforme. Teorema di Heine-Cantor(sd).
8 Derivata. Definizione di derivata prima e suo significato geometrico e fisico. Derivata destra e sinistra. Classificazione punti di non derivabilità.
Algebra delle derivate (cd). Derivazione di funzioni composte(cd) e inverse (sd). Derivate di funzioni elementari (cd). Derivate di ordine superiore. Differenziale (def. e proprietà).
9 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Massimi e minimi relativi (locali) per funzioni derivabili.
Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange e Cauchy (tutti cd). Derivata e funzioni monotone
(crescenza e decrescenza). Test di monotonia (cd). Teoremi di De L'Hopital(cd). Concavità, convessità e flessi.
10 Schema per lo studio del grafico di una funzione derivabile. La formula di Taylor (cd).
Proprietà dell'operatore di Taylor (cd). Resto nella forma di Peano (cd) e di Lagrange (sd), sviluppi notevoli. Esempi. Applicazioni.
11 Integrali. Integrale di Riemann, caratterizzazione dell'integrale, classi di
funzioni integrabili: continue su compatti (cd) e monotone e limitate (cd); teorema
fondamentale del calcolo integrale e corollario (entrambi cd), teorema della media
integrale (cd). Proprietà dell'integrale di Riemann. Integrale definito e indefinito. Primitive
notevoli, regole di integrazione, integrazione per parti (cd), metodi di sostituzione.
Integrali impropri, definizioni, esempi, criterio del confronto (sd).

Metodi Didattici

Insegnamento tradizionale su lavagna.
Il corso si articola in 96 ore di didattica frontale durante le quali gli argomenti teorici (definizioni, proposizioni, teoremi e dimostrazioni) sono affiancati da esempi e applicazioni dei concetti astratti. Il corso tradizionalmente è affiancato da un ciclo di 48 ore di tutoraggio affidato, a seconda delle disponibilità, a personale esterno. L'attività di tutoraggio è facoltativa.

Verifica dell'apprendimento

Modalità d’esame:
verranno valutati: (qualitativo)
- acquisizione delle nozioni
- capacità nel problem solving
Modalità di valutazione/attribuzione voto:
- conoscenza del linguaggio disciplinare
- capacità di mettere in relazione concetti e conoscenze
- capacità espositiva
Preliminare prova scritta (6 prove all’anno: gennaio, 2 prove a febbraio, giugno-luglio-settembre) con
esercizi sui concetti fondamentali del corso, valutazione in trentesimi. Con 18/30 si ha il diritto di accedere alla successiva prova orale. La prova scritta consente di sostenere l'orale entro la sessione
in corso ossia entro il 28 febbraio per le prove scritte di gennaio e febbraio, entro il 30 settembre per le prove di giugno, luglio e settembre.
La prova scritta consiste di quattro esercizi: studio di funzione, serie numerica, successione, integrale. Ogni esercizio ha un punteggio variabile da 6 a 9 punti, per superare la prova è necessario totalizzare 18 punti (sui 30 totali). Anche un esercizio non svolto in maniera completa può contribuire al raggiungimento di tale soglia, ovviamente esercizi incompleti non potranno totalizzare il massimo punteggio previsto per quell'esercizio. Un errore concettuale molto grave in un singolo esercizio potrebbe compromettere l'esito dell'intera prova.
La prova orale alla lavagna è della durata di circa 45 min. con domande sulle parti principali del
programma svolto. Per ottenere la massima valutazione è necessario rispondere perfettamente a tutte le domande. Per conseguire la lode è necessario altresì esporre in maniera brillante. Per superare la prova con il punteggio minimo, invece, è necessario mostrare di possedere almeno le conoscenze minime relative a ogni capitolo importante del corso (ossia: definizioni e teoremi principali su limiti, derivate, serie, successioni e integrali). Un esito negativo della prova orale impone la ripetizione dell’intera procedura (scritto e orale in serie). Il voto finale, espresso in trentesimi, è una media pesata tra il risultato della prova scritta e della prova orale.

Il voto finale dopo il colloquio orale è assegnato seguendo la seguente Tabella Docimologica.

Insufficiente: lo studente dimostra di non aver compreso molte delle costruzioni fondamentali della disciplina.

18-24: lo studente conosce quasi tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato sufficientemente gli argomenti.

25-28: lo studente conosce tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato bene gli argomenti; utilizza in modo corretto il linguaggio matematico.

29-30: lo studente conosce molto bene tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato molto bene gli argomenti; utilizza in modo corretto il linguaggio matematico; è in grado di spiegare le nozioni apprese.

30 e lode: lo studente conosce perfettamente tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato in profondità tutti gli argomenti; utilizza in modo corretto il linguaggio matematico; è in grado di spiegare le nozioni apprese.

Per i testi delle prove scritte precedenti e altre informazioni utili si veda il sito web del docente:
http://people.unica.it/luciocadeddu/

Testi

C. D. Pagani, S. Salsa – “Analisi Matematica, Vol. 1” – zanichelli Editore.
Esercizi: P. Marcelllini e C. Sbordone, “Esercitazioni di Matematica, vol. 1”, parte
prima e parte seconda, Liguori Editore.
F. Buzzetti, E. Grassini Raffaglio, e A. Vasconi Ajroldi, “Esercitazioni di Analisi"

Altre Informazioni

Sul sito personale del docente sono disponibili tutti i testi delle precedenti prove scritte, alcuni con tracce di soluzione. http://people.unica.it/luciocadeddu/

In questo link si trovano informazioni utili per gli studenti con disturbi specifici dell’apprendimento http://corsi.unica.it/fisica/info-dsa/

Avvertenze:
si sconsiglia fortemente l'utilizzo simultaneo di più libri di teoria! Il testo adottato, integrato con gli appunti di lezione - che si basano pedissequamente sul libro di testo - è assolutamente sufficiente per completare la preparazione. Si sconsiglia anche l'utilizzo indiscriminato del web, dove spesso sono disponibili argomenti trattati in modo superficiale o persino scorretto. Per quanto riguarda i libri di esercizi, invece, si può usare qualunque testo di Analisi di livello universitario.

Questionario e social

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