Insegnamenti

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Docente
IRENE IGNAZIA ONNIS (Tit.)
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 8 64

Obiettivi

- CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Scopo dell'insegnamento è di fornire agli studenti gli elementi di base della geometria analitica, che saranno poi utilizzati in buona parte degli studi successivi.
La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo delle tematiche del programma, mediante l'introduzione di concetti fondamentali e lo sviluppo di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancati da esempi significativi, esercizi e applicazioni.
In particolare, l'insegnamento si pone come obiettivo acquisire una buona conoscenza della teoria delle forme bilineari e delle loro applicazioni geometriche. Una applicazione importante sarà lo studio della geometria affine e euclidea, soprattutto nel piano e nello spazio, e la classificazione affine ed euclidea delle coniche e delle superfici quadriche.

-CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà: saper applicare le nozioni e le tecniche apprese sia a esercizi standard sia alla risoluzione di problemi nuovi, che richiedono l'elaborazione autonoma di una strategia, o di piccole dimostrazioni rigorose, non identiche a quelle già conosciute ma ispirate a esse.

- AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Saper riconoscere quando una procedura logica è corretta. 
Apprendere le tecniche di dimostrazione standard della geometria analitica.

- ABILITÀ COMUNICATIVE
Lo studente sarà in grado di esporre e argomentare la soluzione di problemi; sarà inoltre in grado di discutere e dimostrare correttamente i risultati più rilevanti relativi alla geometria analitica

- CAPACITÀ DI APPRENDERE
Capacita di imparare a risolvere autonomamente esercizi e problemi complessi. Capacità di saper leggere e comprendere un testo avanzato di matematica.

Prerequisiti

Conoscenza di:
- le nozioni di base di algebra lineare: spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici;
- la nozione di funzione continua;
- i concetti di insieme quoziente e gruppo;

Contenuti

Spazio duale, base duale. Spazio biduale e isomorfismo canonico.

Forme bilineari. Matrice associata ad una forma bilineare. Dualità e rango di una forma bilineare. Forme quadratiche. Forma canonica di una forma quadratica. Il Teorema di Sylvester.

Spazi affini. Spazi e sottospazi affini. Coordinate affini. Trasformazioni geometriche. Il gruppo delle trasformazioni geometriche. Trasformazioni affini.

Spazi euclidei. Spazi vettoriali euclidei. Complemento ortogonale e proiezione ortogonale. Proprietà di minimo della distanza della proiezione ortogonale ed applicazioni. Coordinate cartesiane. Trasformazioni euclidee. Isometrie lineari. Isometrie. Il gruppo delle isometrie.

Geometria del piano e dello spazio. Coordinate cartesiane. Equazione parametrica della retta affine. Retta affine nel piano. Posizione reciproca di due rette. Retta per due punti. condizione di allineamento di tre punti. Fasci di rette propri ed impropri. Distanza di un punto da una retta. Equazione parametrica del piano affine. Equazione cartesiana del piano. Piano per tre punti. Condizione di complanarità di quattro punti. Equazione cartesiana della retta nello spazio. Fasci di piani propri ed impropri. Posizione reciproca di una retta ed un piano. Posizione di due rette nello spazio. Distanza di un punto da un piano, distanza di un punto da una retta. Distanza di due punti su una retta. Simmetrico di un punto rispetto ad una retta o ad un piano. Semipiani (semispazi) determinati da una retta (un piano). Classificazione delle trasformazioni ortogonali e delle isometrie in dimensione due e tre.
Circonferenza, sfera, coni e cilindri. La circonferenza e la sfera: equazione cartesiana e parametrica. Coni e Cilindri: equazioni cartesiane e parametriche. Cono tangente ad una sfera. Piano tangente ad una sfera. Polarità. Cilindro tangente ad una sfera. Potenza di un punto rispetto ad una sfera. Piano radicale. Fasci di circonferenze.

Geometria delle coniche e delle quadriche. Coniche come luoghi geometrici. Eccentricità. Quadriche di rotazione. Quadriche non degeneri in forma canonica. Equazione generale di una quadrica (conica). Espressione matriciale. Intersezione di una retta con una quadrica: direzione asintotica e di asintoto. Condizione di tangenza di una retta ad una quadrica in un suo punto. Retta tangente ad una conica e piano tangente ad una quadrica. Retta polare di un punto rispetto ad una conica e piano polare di un un punto rispetto ad una quadrica. Il teorema di reciprocità. Centro di simmetria di una quadrica. Diametro coniugato ad una direzione. Direzioni coniugate. Direzioni principali. Endomorfismi simmetrici. Assi e piani di simmetria. Classificazione euclidea delle coniche. Invarianti di una quadrica. Riconoscimento di una conica tramite gli invarianti. L’iperbole omografica. Cambiamenti di riferimento cartesiano e forma canonica. Il metodo degli invarianti per determinare la forma canonica euclidea di una conica. Riconoscimento di un iperbole equilatera. Forma canonica affine di una conica. Il metodo di Gauss. Fasci di coniche. Classificazione delle quadriche. Riduzione di una quadrica in forma canonica. Quadriche di rotazione.

Metodi Didattici

Lavagna durante le lezioni frontali. Per la preparazione dello studente a casa il docente cura un sito dedicato agli studenti dove gli studenti possono reperire eventuali appunti e gli esercizi settimanali da svolgere a casa e corretti in classe dai tutor. Normalmente è previsto un incontro settimanale di tutoraggio didattico con il tutor.

Verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.
La prova scritta consiste di esercizi simili a quelli svolti durante le lezioni ed esercitazioni.

Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento, e può comprender una discussione della prova scritta. La prova orale si considera superata se lo studente risponde correttamente ad almeno tre domande su argomenti diversi del programma svolto. In ogni caso una risposta eccessivamente insufficiente può compromettere l’intera prova orale. Il voto finale è determinato dal voto di entrambe le prove.
Durante la prova orale lo studente deve dimostrare di aver capito ed assimilato gli argomenti svolti durante le lezioni. In più lo studente deve dimostrare di essere in grado di spiegare le nozioni e le dimostrazioni apprese durante il corso. A tal fine è necessario che lo studente, durante la prova orale, scriva alla lavagna tutti i passaggi che sta seguendo per arrivare alla conclusione di un ragionamento. Si consiglia di rispondere esattamente alle domande senza divagare e scrivendo da subito tutti i dettagli necessari.

Testi

Libri di riferimento

E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.

A. Sanini, Lezioni di Geometria, Levrotto & Bella.



M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli - Geometria - Esculapio Editore.

I. Vaisman, Analytical Geometry, World Scientific, 1997.

A. Sanini, Esercizi di Geometria, Levrotto & Bella.

Altre Informazioni

Tutor: Dott.ssa Daria Uccheddu
Le esercitazioni saranno ogni Martedì dalle 15:00 alle 17:00 Aula D, Palazzo delle Scienze.

Ricevimento Studenti: ogni martedì dalle 14:00 alle 15:00.


Il nostro Ateneo fornisce supporto per studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni a questo link:
http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Questionario e social

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