Insegnamenti

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Docente
MONICA MUSIO (Tit.)
Periodo
Primo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2012]  PERCORSO COMUNE 7 56

Obiettivi

CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Comprensione e conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo delle probabilità e della teoria delle distribuzioni.
CAPACITA’ APPLICATIVE:
Lo studente deve mostrare familiarità ed autonomia nell’applicazione dei metodi suddetti ad esempi pratici ed esercizi.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Il corso si propone di stimolare la valutazione obiettiva della didattica proponendo costantemente agli studenti un raffronto tra i contenuti teorici proposti duranti le lezioni frontali e l’acquisizione degli stessi attraverso lo studio autonomo utilizzando i testi consigliati e il materiale didattico fornito.
ABILITÀ NELLA COMUNICAZIONE:
Capacità di esprimere con l’appropriata terminologia matematica i concetti fondamentali del calcolo delle probabilità.
CAPACITÀ DI APPRENDERE:
Lo studente svilupperà una metodologia di studio e analisi che gli permetta di interpretare e approfondire le problematiche di Probabilità e Statistica che gli si presenteranno nel proseguo dello studio e della carriera universitaria/lavorativa.

Prerequisiti

È necessario che l’allievo sia in possesso di elementi di calcolo combinatorio, di algebra elementare e di analisi (limiti, derivate e integrali) così come sono impartiti nei corsi standard di Algebra e Analisi del primo biennio della laurea triennale in Matematica. Per quanto concerne nozioni e concetti un poco più avanzati sono sufficienti brevi interventi tecnici durante il corso.

Contenuti

I – Assiomatizzazione del CdP:
- Eventi, insiemi, logica ed operazioni sugli eventi, successioni di eventi monotone e non, limiti di successioni di eventi, eventi quasi certi e quasi impossibili;
- Algebra di Boole e sigma-algebra, costruzione della sigma-algebra minima;
-le diverse definizioni di probabilità (classica, frequentata, soggettivista). Lo schema delle scommesse di Bruno de Finetti;
- Assiomi di Kolmogorov e sue prime conseguenze. Teoremi elementari della probabilità con dimostrazione;
- Indipendenza, probabilità condizionata, teoremi delle probabilità totali e delle probabilità composte, teorema di Bayes con dimostrazione.
II – Variabili aleatorie (v.a.):
- Variabili aleatorie discrete. La densità di probabilità nel caso discreto.
-Leggi discrete: uniforme, bernoulliana, binomiale, geometrica, di Pascal, binomiale negativa, ipergeometrica, di Poisson;
- Convergenza della ipergeometrica alla binomiale e della binomiale alla legge di Poisson con dimostrazione;
- Teorema di caratterizzazione delle funzioni di ripartizione con dimostrazione;
- Leggi continue e la densità di probabilità: uniforme continua, normale, esponenziale negativa, di Cauchy, Gamma di Erlang e Beta;
- Momenti primi e secondi delle principali distribuzioni.
- III – Speranza matematica:
- Speranza matematica e momenti di funzioni di v.a.;
- Funzione generatrice dei momenti, principali proprietà e proprietà limite; La funzione generatrice di probabilità e suoi legami con la f.g.m.; Cenni sulla funzione caratteristica.
IV – Operazioni su v.a.:
- Trasformazioni di v.a., standardizzazione; determinazione della densità associata a trasformazioni monotone con dimostrazione.
- Cenni su processo di Poisson. Legame tra distribuzione esponenziale e distribuzione di Poisson;
- V.a. multiple, funzione densità e funzione di distribuzione congiunta nel caso discreto e nel caso continuo, leggi marginali e condizionate. I vettori aleatori bivariati;
-Trasformazione di v.a. bivariate; distribuzione della somma, differenza, quoziente e prodotto di due v.a. con dimostrazione;
-Distribuzione della somma di v.a. indipendenti attraverso il calcolo della f.g.m.;
- Somme di v.a. indipendenti; integrale di convolazione con dimostrazione;
- Leggi Chi-2, t-Student e F-Fisher, lettura delle tavole delle leggi normale, Chi-2 e T-Student;
- I momenti e i momenti centrali misti.
-La covarianza e il coefficiente di correlazione. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e sue conseguenze; dipendenza lineare tra due v.a.;
-Valor medio e varianza condizionate;
- Leggi multinomiale e normale bivariata (dimostrazione delle principali proprietà )
V – Convergenza delle v.a.:
-Diseguaglianze di Markov, e di Chebyshev con dimostrazione;
- Convergenze deboli: in legge e in probabilità;
- il teorema limite centrale e sua dimostrazione;
- Convergenza quasi certa.
-Legami tra i diversi tipi di convergenza;
- Leggi debole dei grandi numeri (con dimostrazione);
- Applicazione della legge debole dei grandi numeri per la stima di integrali definiti attraverso metodi di simulazione Monte Carlo;
- La legge forte dei grandi numeri.

Metodi Didattici

Insegnamento tradizionale su lavagna (56 ore), esercitazioni consistenti nella risoluzione di esercizi in presenza di un Tutor, qualche esercitazione con l'ausilio del pacchetto statistico R. Sono previste in tutto 28 ore di esercitazioni.

Verifica dell'apprendimento

Prova scritta ed orale. La prova scritta, riguardante 4 o 5 esercizi esercizi simili a quelli svolti durante le esercitazioni è prevista in 2 ore e 30 minuti. Verrà valutata in particolare la capacità nel problem solving, oltre alla padronanza degli strumenti propri della disciplina. Gli studenti che superano la prova scritta sono ammessi alla prova orale. La prova orale, svolta alla lavagna, si considera superata se lo studente risponde correttamente ad almeno tre domande su argomenti diversi del programma svolto. In ogni caso una risposta eccessivamente insufficiente può compromettere l’intera prova orale.
Durante la prova orale lo studente deve dimostrare di aver capito ed assimilato gli argomenti svolti durante le lezioni. In più lo studente deve dimostrare di essere in grado di spiegare le nozioni e le dimostrazioni apprese durante il corso. Un esito negativo della prova orale impone la ripetizione dell’intera procedura.
Il voto finale è una media pesata tra il risultato della prova scritta e della prova orale.

Testi

Testi adottati:
- P.Baldi (2011) Calcolo delle probabilità. McGraw-Hill. Milano.
-A. Di Crescenzo, V. Giorno, A.G. Nobile, L.M.Ricciardi (2009) Un primo corso in probabilità. Liguori Editore.
Testi di consultazione:
- S.M.Ross (2007) Calcolo delle Probabilità, Apogeo.
- G. Dall’Aglio (2003) Calcolo delle probabilità. Zanichelli Editore. Bologna.
- W.Feller (1950) An introduction to probability theory and its applications (Vol 1), Wiley.
-G. Casella R.L. Berger (2001) Statistical Inference (primi 5 capitoli). Duxbury.
Introduzione a R:
-S. M. Iacus, G. Masarotto (2007), Laboratorio di statistica con R, McGraw-Hill.
- G.J.Kerns (2011) Introduction to Probability and Statistics Using R (https://cran.r-project.org/web/packages/IPSUR/vignettes/IPSUR.pdf).

Altre Informazioni

Materiale supplementare è disponibile sul sito del docente: people.unica.it/monicamusio .
Il nostro Ateneo fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/.

Questionario e social

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