Insegnamenti

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Docente
ANTONIO GRECO (Tit.)
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2012]  PERCORSO COMUNE 10 80

Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione

Conoscenza e capacità di comprensione dei primi rudimenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie e di alcuni suoi sviluppi astratti, come ad esempio la rappresentazione delle soluzioni come limiti (di successioni o di somme). Conoscenza e capacità di comprensione dei primi rudimenti della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue.

2. Capacità applicative

Capacità di risolvere per quadrature i tipi più semplici di equazioni differenziali ordinarie. Capacità di stabilire l'eventuale convergenza (puntuale o uniforme) di semplici successioni e serie di funzioni, e di sviluppare in serie (di Taylor o di Fourier) una semplice funzione data. Capacità di utilizzare i principali teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

3. Autonomia di giudizio

Sviluppare spirito critico, capacità di pensiero autonomo, e intraprendenza, con riferimento ai problemi sui quali il corso si impernia. Capacità di giudicare la correttezza di una dimostrazione, o, più in generale, di un ragionamento matematico, e la buona positura di una definizione.

4. Abilità nella comunicazione

Saper comunicare informazioni, idee, problemi e soluzioni utilizzando la terminologia convenzionale, in modo tale da poter interagire costruttivamente, nell'immediato, con gli altri studenti e con i docenti, e successivamente con i propri colleghi di lavoro ed in un'eventuale attività di insegnamento. Saper motivare razionalmente le proprie affermazioni, supportandole con lo svolgimento di semplici dimostrazioni.

5. Capacità di apprendere

La frequenza delle lezioni, lo studio individuale sui principali testi in circolazione, ed il dialogo con gli altri studenti e con il docente contribuiscono a sviluppare nello studente la capacità di interpretare e approfondire le tematiche che gli si presenteranno nel proseguimento degli studi e nella futura attività lavorativa.

Prerequisiti

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali. Successioni e serie numeriche.

Contenuti

Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie (24 ore).

Generalità sulle equazioni ordinarie. Concetto di soluzione e verifica della correttezza di una soluzione. Integrale generale. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni lineari e struttura dello spazio delle soluzioni. Equazione di Eulero. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità in piccolo della soluzione di un problema ai valori iniziali.


Successioni e serie di funzioni (24 ore).

Generalità. Convergenza puntuale, convergenza uniforme. Criterio di Cauchy. Continuità, derivabilità e integrazione della funzione limite. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Analiticità della funzione somma. Esempi notevoli. Serie di Fourier: le origini; condizioni sufficienti per la convergenza; disuguaglianza di Bessel; uguaglianza di Parseval.


I più semplici spazi funzionali (8 ore).

Gli spazi C^k([a,b]), la loro norma, la metrica, e la proprietà di completezza. Le norme-p in R^N. Il teorema della contrazione di Banach.


Introduzione alla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue (24 ore).

Costruzione della misura di Lebesgue. Numerabile additività. Nozione di funzione misurabile. Definizione dell'integrale di Lebesgue e confronto con l'integrale di Riemann. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema della convergenza limitata, teorema della convergenza dominata, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou. Derivazione sotto il segno di integrale. Teorema di Fubini-Tonelli.

Metodi Didattici

Nella prima lezione vengono illustrati sinteticamente i contenuti e le modalità di svolgimento del corso e degli esami, e vengono date indicazioni sul materiale didattico e su come impostare lo studio della disciplina, anche con riferimento al sito web dell'insegnamento,

Il corso si articola in lezioni frontali (40 ore), esercizi da svolgere a casa, discussione collettiva degli esercizi, e laboratorio in collaborazione con gli studenti (risoluzione simbolica di equazioni differenziali mediante CAS - Computer Algebra System; rappresentazione di alcuni concetti del corso mediante grafica computerizzata, applet interattive, o semplici modelli realizzabili artigianalmente; brevi comunicazioni a cura degli studenti interessati) (40 ore).

All'interno del corso sono previsti momenti dedicati alla discussione. Gli studenti sono invitati a partecipare attivamente frequentando le lezioni ed intervenendo per formulare quesiti e per proporre strategie risolutive per i problemi affrontati.

Verifica dell'apprendimento

La finalità della prova d'esame è quella di valutare il grado di raggiungimento degli obiettivi formativi sopra indicati. In conformità al regolamento didattico approvato dal Consiglio del Corso di Studi il 30-05-2017, la valutazione dello studente si basa su di una prova orale in cui vengono proposti alcuni quesiti scelti a campione nell'ambito di tutto il programma del corso. Durante la prova orale lo studente ha a disposizione un mezzo di scrittura (solitamente una lavagna tradizionale) che deve utilizzare affinché siano valutate le competenze e le abilità che richiedono la manipolazione di espressioni numeriche e/o letterali.

Il punteggio della prova d'esame è attribuito mediante un voto espresso in trentesimi. L'attiva partecipazione dello studente alle lezioni ed alle esercitazioni può contribuire al voto finale nella misura di uno o due punti. Sono valutati a favore dello studente, in particolare: lo spirito critico, la capacità di pensiero autonomo, e l'intraprendenza, ovvero lo spirito di iniziativa.

Viene valutata anche la capacità dello studente di sostenere una discussione, e la capacità di individuare e correggere, discutendo, i propri eventuali errori, senza smarrirsi.

I quesiti sono, di norma, dello stesso livello di difficoltà degli esercizi assegnati a lezione, e mirano a valutare l'acquisizione delle conoscenze, ed il raggiungimento delle capacità e delle abilità che il corso ha come obiettivi. Per superare l'esame, e riportare quindi un voto non inferiore a 18/30, lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito una conoscenza elementare degli argomenti del corso. Ad un più completo raggiungimento degli obiettivi formativi corrisponde una votazione proporzionalmente maggiore. Agli studenti particolarmente brillanti può essere richiesto di affrontare problemi più impegnativi per il conseguimento della votazione massima con lode.

Testi

Testo adottato:

Fusco, Marcellini, Sbordone:
Analisi Matematica Due, Liguori.

Eserciziario:

Marcellini, Sbordone:
Esercitazioni di Matematica, vol. 2, parte prima e parte seconda, Liguori.

Dispense del docente:

http://people.unica.it/antoniogreco/didattica/materiale-didattico/

Testi per approfondimenti:

Barutello, Conti, Ferrario, Terracini, Verzini:
Analisi Matematica 2, Apogeo.

Giusti:
Analisi Matematica, vol. 2, Boringhieri.

Kline:
Storia del Pensiero Matematico, vol. 1 e vol. 2, Einaudi.

Pagani, Salsa:
Analisi Matematica, vol. 2, Masson/Zanichelli.

Rudin:
Principi di Analisi Matematica (volume unico), McGraw-Hill.

Altre Informazioni

Per informazioni sui disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) vedere http://corsi.unica.it/fisica/info-dsa/

Questionario e social

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