Insegnamenti

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Docente
IRENE IGNAZIA ONNIS (Tit.)
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE 8 64

Obiettivi

- CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Scopo dell'insegnamento è di fornire agli studenti gli elementi di base della geometria analitica, che saranno poi utilizzati in buona parte degli studi successivi.
La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo delle tematiche del programma, mediante l'introduzione di concetti fondamentali e lo sviluppo di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancati da esempi significativi, esercizi e applicazioni.
In particolare, l'insegnamento si pone come obiettivo acquisire una buona conoscenza della teoria delle forme bilineari e delle loro applicazioni geometriche. Una applicazione importante sarà lo studio della geometria affine e euclidea, soprattutto nel piano e nello spazio, e la classificazione euclidea delle coniche e delle superfici quadriche.

-CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà: saper applicare le nozioni e le tecniche apprese sia a esercizi standard sia alla risoluzione di problemi nuovi, che richiedono l'elaborazione autonoma di una strategia, o di piccole dimostrazioni rigorose, non identiche a quelle già conosciute ma ispirate a esse.

- AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Saper riconoscere quando una procedura logica è corretta. 
Apprendere le tecniche di dimostrazione standard della geometria analitica.

- ABILITÀ COMUNICATIVE
Lo studente sarà in grado di esporre e argomentare la soluzione di problemi; sarà inoltre in grado di discutere e dimostrare correttamente i risultati più rilevanti relativi alla geometria analitica

- CAPACITÀ DI APPRENDERE
Capacità di imparare a risolvere autonomamente esercizi e problemi complessi. Capacità di saper leggere e comprendere un testo avanzato di matematica.

Prerequisiti

Gli studenti devono aver acquisito le conoscenze e le competenze di Algebra 1 e Geometria 1.


Contenuti

Forme bilineari. Matrice associata ad una forma bilineare. Matrici congruenti. Dualità e rango di una forma bilineare. Forme quadratiche. Forma bilineare polare. Forma canonica di una forma quadratica, base diagonalizzante e metodo del completamento dei quadrati.

Prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei. Norma e proprietà. Distanza fra punti e angolo tra vettori. Basi ortogonali e il procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale e proiezione ortogonale. Proprietà di minimo della distanza della proiezione ortogonale ed applicazioni.

Endomorfismi simmetrici. Proprietà e Teorema Spettrale. Matrici simmetriche reali. Trasformazioni ortogonali.

Spazi affini, definizioni ed esempi. Cambiamenti di coordinate affini. Sottospazi affini, giacitura, dimensione e codimensione. Intersezione di sottospazi affini. Sottospazi affini paralleli. Rappresentazione di sottospazi affini: equazioni parametriche e cartesiane. Trasformazioni affini e isomorfismo associato. Caratterizzazione delle traslazioni. Trasformazioni affini in coordinate. Spazio affine euclideo e coordinate cartesiane. Cambiamenti di coordinate cartesiane. Isometrie tra spazi euclidei e caratterizzazione geometrica. Ortogonalità tra sottospazi affini.

Geometria del piano e dello spazio euclideo. Equazione parametrica della retta affine. Retta affine nel piano. Posizione reciproca di due rette. Retta per due punti. Condizione di allineamento di tre punti. Fasci di rette propri ed impropri. Distanza di un punto da una retta. Equazione parametrica del piano affine. Equazione cartesiana del piano. Piano per tre punti. Condizione di complanarità di quattro punti. Equazione cartesiana della retta nello spazio. Fasci di piani propri ed impropri. Posizione reciproca di una retta ed un piano. Posizione di due rette nello spazio. Rette complanari e rette sghembe. Distanza di un punto da un sottospazio affine dello spazio euclideo n-dimensionale e proiezione ortogonale. Distanza di un punto da un iperpiano dello spazio euclideo n-dimensionale. Distanza di un punto da una retta, distanza tra due rette e tra due piani dello spazio ordinario. Simmetria centrale. Simmetria ortogonale rispetto ad un iperpiano di uno spazio euclideo n-dimensionale. Angolo tra rette, tra piani e tra una retta e un piano. Angoli diedri.

La circonferenza e la sfera: equazione cartesiana e parametriche. Posizioni reciproche tra piano e sfera. Intersezione tra sfera e retta. Circonferenze nello spazio e retta tangente. Piano tangente ad una sfera. Potenza di un punto rispetto ad una sfera. Mutua posizione tra due circonferenze del piano e caratterizzazione dell'asse radicale di due circonferenze. Asse radiale. Piano radicale. Fasci di circonferenze.

Cilindri e coni. Equazioni cartesiane e parametriche. Cilindri e coni circolari. Cilindri con generatrici parallele agli assi coordinati. Funzioni omogenee di grado k. Cilindro e cono circoscritto ad una sfera.

Classificazione delle trasformazioni ortogonali e delle isometrie in dimensione due e tre.

Coniche come luoghi geometrici. Equazioni canoniche e eccentricità. Definizione ed equazione di una iperbole equilatera. Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

Superfici di rotazione: meridiani, paralleli, curva profilo e asse di rotazione. Equazione cartesiana. Superfici di rotazione attorno ad uno degli assi coordinati. Esempi: sfera, cilindro circolare retto, cono rotondo e toro. Quadriche di rotazione.

Geometria delle coniche e delle quadriche. Equazione generale. Espressione matriciale. Invarianti euclidei e rango. Centro di simmetria. Assi e piani di simmetria. Classificazione euclidea e riduzione a forma canonica delle coniche e delle quadriche.

Metodi Didattici

Compatibilmente con la modalità di insegnamento prevista nel Manifesto degli Studi per l'A.A. 2021-22, a seguito dell'emergenza COVID-19, gli strumenti utilizzati per le lezioni frontali saranno principalmente la lavagna con, eventualmente, un sistema di streaming sincrono via internet tramite la piattaforma Microsoft Teams.

Per la preparazione dello studente a casa il docente cura un sito dedicato agli studenti (https://www.unica.it/unica/page/it/ireneionnis) dove gli studenti possono reperire eventuali appunti e gli esercizi settimanali da svolgere a casa e corretti in classe dai tutor. Normalmente è previsto un incontro settimanale di tutoraggio didattico con il tutor.

Verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta (della durata di 3 ore) e una prova orale, entrambe obbligatorie. La prova scritta consiste di esercizi simili a quelli svolti durante le lezioni ed esercitazioni.

Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.
La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento, e può comprendere una discussione della prova scritta. La prova orale si considera superata se lo studente risponde correttamente ad almeno tre domande su argomenti diversi del programma svolto. In ogni caso una risposta eccessivamente insufficiente può compromettere l’intera prova orale. Il voto finale è determinato dal voto di entrambe le prove.
Durante la prova orale lo studente deve dimostrare di aver capito ed assimilato gli argomenti svolti durante le lezioni. In più lo studente deve dimostrare di essere in grado di spiegare le nozioni e le dimostrazioni apprese durante il corso. A tal fine è necessario che lo studente, durante la prova orale, scriva alla lavagna tutti i passaggi che sta seguendo per arrivare alla conclusione di un ragionamento. Si consiglia di rispondere esattamente alle domande senza divagare e scrivendo da subito tutti i dettagli necessari.

Compatibilmente con la modalità di esami prevista nel Manifesto degli Studi per l'A.A. 2021-22 a seguito dell'emergenza COVID-19, gli esami si terranno o in presenza oppure sulla piattaforma Teams.

Testi

Libri di riferimento

E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.

M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli - Geometria - Esculapio Editore.

I. Vaisman, Analytical Geometry, World Scientific, 1997.

A. Sanini, Lezioni di Geometria, Levrotto & Bella.

A. Sanini, Esercizi di Geometria, Levrotto & Bella.

Altre Informazioni

Nel sito https://www.unica.it/unica/page/it/ireneionnis
lo studente potrà trovare altre informazioni sul corso, gli esercizi proposti dal docente e il diario delle lezioni.

Il nostro Ateneo fornisce supporto per studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni a questo link:
http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Questionario e social

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