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Docente
BENIAMINO CAPPELLETTI MONTANO (Tit.)
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

Corso Percorso CFU Durata(h)
[60/65]  MATEMATICA [65/40 - Ord. 2020]  MATEMATICA PURA 9 72

Obiettivi

La geometria Riemanniana è una branca della geometria differenziale che studia un oggetto matematico - detto "varietà Riemanniana" - che modellizza l'idea di "spazio curvo" di dimensione arbitraria. Su di esso sono definite molte delle usuali nozioni geometriche, quali angoli, distanze, volumi, linee rette (dette geodetiche). Ma soprattutto si definiscono concetti propri degli spazi curvi, quali quella di curvatura e di tensore metrico.

Gli obiettivi principali dell'insegnamento "Geometria Riemanniana" sono descritti come segue.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Scopo dell'insegnamento è mettere in grado gli studenti di comprendere il linguaggio, le tecniche ed i contenuti principali della Geometria Riemanniana e delle tematiche correlate.
Lo strumento didattico privilegiato per il raggiungimento di tali obiettivi sono le lezioni frontali, durante le quali verranno sviluppate le varie tematiche del corso, mediante l'introduzione di concetti fondamentali e lo sviluppo di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancati da esempi significativi, esercizi e applicazioni.


CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE
Lo studente dovrà essere in grado di produrre dimostrazioni rigorose di risultati concernenti o correlati alle tematiche affrontate (anche diversi dai teoremi dimostrati nel corso dell'insegnamento). Lo studente dovrà anche saper applicare le nozioni fondamentali su metriche Riemanniane, geodetiche, ecc. anche a contesti diversi, quali la fisica, la probabilità e statistica, l'analisi matematica.


AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Fra gli obiettivi del corso vi è quello di rendere lo studente quanto più possibile autonomo, di aiutarlo a sviluppare il suo senso critico e la capacità di individuare da sè quali siano le idee importanti e gli argomenti che meriterebbero di essere approfonditi in studi successivi.


ABILITÀ COMUNICATIVE
Lo studente sarà in grado di esporre e argomentare la soluzione di esercizi; sarà inoltre in grado di discutere e dimostrare correttamente i risultati più rilevanti relativi alla geometria Riemanniana, attraverso un linguaggio logico-matematico rigoroso.


CAPACITÀ DI APPRENDERE
Affinare le facoltà analitiche dello studente, la sua flessibilità mentale nell'affrontare concetti nuovi e impegnativi, ponendoli in collegamento con i concetti di analisi, geometria differenziale classica e topologia che li hanno originati e che egli già conosce dai corsi della laurea triennale. Capacità di leggere autonomamente un testo avanzato di geometria differenziale.

Prerequisiti

Avere familiarità con i concetti dell'Analisi, della Geometria e dell'Algebra già affrontati nella Laurea in Matematica. Avere familiarità con i concetti di varietà differenziabile, campi tangenti, forme differenziali affrontati in un insegnamento base di Geometria Differenziale, di cui questo insegnamento costituisce un naturale approfondimento e prosecuzione.

Contenuti

Il programma dettagliato del corso è reperibile sul sito del docente.

PROGRAMMA DI MASSIMA
Metriche Riemanniane. Isometrie. Esempi. Connessioni. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Divergenza, gradiente, Hessiano e Laplaciano. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Distanza Riemanniana. Teorema di Hopf-Rinow. Curvatura Riemanniana, sezionale, di Ricci e scalare. Varietà di Einstein.

Metodi Didattici

L'insegnamento prevede 72 ore di lezioni frontali di carattere teorico-metodologico, tenute alla lavagna, con esempi atti a facilitare la comprensione della teoria. L'orario delle lezioni è indicato nel sito web del CdS in Matematica.

Saranno anche proposti esercizi da svolgere a casa, o eventualmente con la guida del docente durante l'orario di ricevimento, e che saranno restituiti corretti agli studenti.

Per la preparazione dello studente a casa il docente cura un sito dedicato agli studenti dove gli studenti possono reperire il registro delle lezioni, eventuali appunti / esercizi proposti dal docente.

Verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova orale, che ha come obiettivo quello di verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi indicati in precedenza.

Nel corso dell'esame, che si svolge alla lavagna, lo studente deve dimostrare di aver capito ed assimilato gli argomenti svolti durante le lezioni e di essere in grado di spiegare le nozioni e le dimostrazioni apprese durante il corso. A tal fine è necessario che lo studente scriva alla lavagna tutti i passaggi che sta seguendo per arrivare alla conclusione di un ragionamento. Saranno valutate inoltre la capacità espositiva e la capacità di mettere in relazione concetti e conoscenze.

La durata della prova è generalmente di circa 45 minuti.

La prova orale si considera superata se lo studente risponde correttamente ad almeno due domande su argomenti diversi del programma svolto. In ogni caso una risposta eccessivamente insufficiente su un tema fondamentale (per esempio la definizione di metrica Riemanniana) può compromettere l’intera prova orale.

Testi

Testo adottato
J. Lee - Riemannian manifolds, Springer

Testi di consultazione
D. Perrone – Introduzione alla geometria riemanniana, Aracne
M. Abate, F. Tovena – Geometria differenziale, Springer

Altre Informazioni

Durante la prima lezione del corso verranno descritti gli obiettivi, i contenuti del programma, le modalità di verifica e, più in generale, il funzionamento del corso, ivi incluso la descrizione del sito del corso, dove gli studenti possono trovare materiale didattico a supporto (informazioni, esercizi proposti, eventuali appunti del docente, ecc.).

E' previsto un orario di ricevimento settimanale, che verrà comunicato all'inizio del corso e indicato nella home-page del docente. Il docente è comunque disponibile a fornire informazioni agli studenti attraverso la propria email (b.cappellettimontano@unica.it) o telefono (070/675-8520), o ad incontri anche in giorni diversi dall'orario di ricevimento ufficiale previo appuntamento via email.

L'Università di Cagliari fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

Questionario e social

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